Matematika vam verovatno dosta često deluje dosadno i suvoparno, a najčešće vam ide na živce kada do kasno u noć, danima čekate rezultate ispita. Ipak, matematika često može biti interesantna i neočekivana.
10. Teorema 4 boje
Ovu teoremu je 1852 oktrio Francis Gutri koji je u to vreme pokušavao da oboji mapu svih zemalja Engleske. Tom prilikom, otkrio je nešto interesantno. Trebalo mu je samo četri različite boje da bi obezbedio da dve zemlje sa zajedničkom granicom nisu obojene istom bojom. Gutri se pitao da li je ovo pravilo za svaku mapu i pitanje je postalo matematička zagonetka koja je godinama ostala bez rešenja.
Godine 1976, ovaj problem su konačno rešili Kenet Apel i Volfgang Haken. Dokaz koji su pronašli bio je prilično kompleksan i oslanjao se na računar, ali je zaključak bio da se na bilo kojoj politčikoj mapi, sve države mogu obojiti tako da susedne nikad nisu iste boje.
9. Brouerova teorema fiksne tačke
Teorema dolazi iz oblasti topologije i otkrio je Lucen Brouer. Iako je prilično apstraktna, ima puno implikacija u stvarnom svetu.
Na primer, ako imamo sliku, (na primer Monalizu) i napravimo kopiju slike. Ukoliko ovu kopiju povećavamo, smanjujemo rotiramo i slično, Brouerova teorema fiksne tačke kaže da ako ovu kopiju stavimo preko originala, bar jedna tačka mora biti tačno na istom mestu kao na originalu.
Ovo takođe funkcioniše u tri dimenzije. Na primer imamo čašu vode i krenemo da je mešamo. Po Brouerovoj teoremi, postojaće bar jedan molekul vode koji će na kraju biti na istom mestu kao i na početku.
8. Raselov paradoks
Na početku 20. veka mnogi su se zanimali novom granom matematike, zvanom teorija setova. U suštini, set je kolekcija objekata. U to vreme se smatralo da sve može da se predstavi kao set. Tako je set mogao da sadrži i druge setove.
Godine 1901. slavni matematičar Bertrand Rasel je napravio priličnu pometnju kada je shvatio da ovo razmišljanje ima veliku manu. Naime, ne može sve da se predstavi kao set.
Rasel je odlučio da napravi meta set koji je opisan kao set koji sadrži sve one setove koji ne sadrže sami sebe. Na primer set voća, sadrži sve vrste voća, ali ne sadrži samog sebe.
Tako je Raselov set sadržao sve setove koji ne sadrže sami sebe. Logično je da Raselov set ne sadrži samog sebe jer sadrži sve ostale setove, ali u tom slučaju on treba da bude dodat u Raselov set, što znači da sada Raselov set sadrži samog sebe, što dalje znači da treba da bude izbačen iz Raselovog seta i tako dalje. Ovaj logički paradoks je izazvao kompletnu reformu teorije setova.
7. Fermatova poslednja teorema
Sećate se pitagorine teoreme? Zbir kvadrata nad katetama jednak je kvadratu nad hipotenuzom. Najčuvenija teorema Pjera de Fermata je da upravo ova jednačina nije tačna ako se kvadrat zameni bilo kojim drugim brojem. Na primer nije tačno reći da je zbir kubova nad katetama jednak kubu nad hipotenuzom.
Kako je Fermat napisao: “Otkrio sam veličanstven dokaz ovoga, ali je ova margina previše uska da bi ga primila”. Ovaj problem je postavljen 1637. godine i iako možda ne zvuči naročito komplikovano, prošlo je prilično mnogo vremena do njegovor rešavanja. Pod prilično mnogo vremena mislimo 358 godina jer je problem rešio tek Endru Vils 1995. godine.
6. Argument sudnjeg dana
Prilično je prihvatljiva pretpostavka da su većina čitalaca ovog članka ljudska bića. Za njih će ovaj deo članka biti naročito otrežnjujući. Matematika se može koristiti kako bi se utvrdilo kada će naša vrsta nestati. Koristeći verovatnoću naravno.
Ovaj argument u suštini kaže da je vreme čovečanstvu skoro isteklo. Jedna verzija argumenta koja se pripisuje Ričardu Gotu je iznenađujuće jednostavna: ako posmatramo ceo životni ciklus ljudske vrste kao vremensku liniju od rođenja ka smrti, možemo utvrditi gde se nalazimo sada.
Pošto je sada nasumična tačka u postojanju ljudkse vrste, možemo sa sigurnošću od 95% reći da smo negde na sredini 95% vremenske linije. Ako kažemo da smo sada na 2.5% ljudskog postojanja dobijamo najveće očekivano preživljavanje. Ako kažemo da je prošlo 97.5% vremena ljudskog postojanja, to nam daje najkraće očekivanje preživljavanja. Prema Gotu, postoji šansa od 95% da će ljudi izumreti negde u periodu od 5100 i 7.8 miliona godina od danas.
Priznaćete zavidna preciznost.
5. Neeuklidska geometrija
Euklidska geometrija je još jedna od stvari koje se sigurno sećate iz škole. To je obična geometrija linija i tačaka koje se mogu nacrtati i dugo je smatrana jedinim načinom na koji geometrija može da funkcioniše. Ona je zasnovana na 5 aksioma.
Ipak ove očigledne istine koje je Euklid zapisao pre 2000 godina nisu svima bile tako očigledne. Problem je u postulatu paralelnosti koji je mnogim matematičarima bio problematičan (da za svaku liniju postoji tačno jedna paralelna linija, odnosno da se nikada ne seku. Neeuklidske geometrije tvrde da ne postoje paralelne linije). Na početku 18. veka, peti aksiom je prosto promenjen u nešto drugo i dobijena je potpuno drugačija geometrija. Jedna od njih je eliptična geometrija koja je korišćena da bi se objasnila teorija relativiteta.
4. Ojlerova formula
Ojlerova formula je jedan od najmoćnijih rezultata na spisku.
Njegov rezultat deluje jednostavno na prvi pogled: e^(i*pi)+1 = 0. Za neupućene i pi i e su matematičke konstante koje iskrsavaju na najneverovatnijim mestima, a i je imaginarna jedinica (rezultat kvadratnog korena iz -1). Ričard Fejnman je nazvao najupečatljivijom formulom u matematici.
3. Turingova univerzalna mašina
Živimo u svetu kojim dominiraju računari čiji su koreni u teoretskoj matematici.
Matematičar i razbijač šifara u 2. svetskom ratu, Alan Turing je razvio teoretski objekat nazvan Turingova mašina. To je osnovni računar koji koristi beskonačnu traku i tri simbola (0, 1, i prazno) i izvršava setove instrukcija. Instrukcije su mogle biti promena 0 u 1 ili pomeranje u levo ili desno.
Turing je u stuštini koristeći matematiku i logiku, stvorio polje računarskih nauka godinama pre nego što je tehnologija bila u stanju da napravi pravi računar.
2. Različiti nivoi beskonačnosti
Beskonačnost je već kao takvu teško pojmiti. Ljudi nisu stvoreni tako da razumeju beskonačnost i zbog toga je beskonačnost pažljivo tretirana od strane matematičara.
Tek u drugoj polovini 19. veka, Georg Kantor je razvio granu matematike, teoriju Setova, teoriju koja mu je dozvolila da ponderiše istinsku prirodu beskonačnosti. I ono što je otrkio je bilo zapanjujuće.
Ispostavilo se da uvek postoji veća beskonačnost od prethodne. Na primer skup prirodnih brojeva je brojiva beskonačnost i predstavnja najniži nivo beskonačnosti. Jednostavnim zaključivanjem Kantor je spoznao da postoji veća beskonačnost, beskonačnost realnih brojeva, nebrojiva beskonačnost. Ali postoji još nivoa beskonačnosti nakon ove. Koliko? Pa beskonačno mnogo naravno :)
1. Gedelova teorija nekompletnosti
Godine 1931, austrijski matematičar Kurt Gedel je dokazao dve teoreme koje su šokirale matematički svet do same osnove jer zajedno su pokazale nešto jako obeshrabrujuće: matematika nije, niti će kad biti kompletna.
Bez zalaženja u tehničke detalje, Gedel je pokazao da u bilo kom formalnom sistemu postoje istinite tvrdnje o sistemu koje sam sistem ne može dokazati. U suštini pokazao je da je nemoguće da aksiomatski sistem bude samo-sadržan, što se kosilo sa svim dotadašnjim matematičkim pretpostavkama. Nikad neće postojati zatvoreni sistem koji sadrži svu matematiku, samo sistemi koji postaju sve veći i veći dok bezuspešno pokušavamo da ih učinimo kompletnim.
Postavi komentar