Математика - савршена и неочекивана

// Категорије: Магазин |

Математика вам вероватно доста често делује досадно и сувопарно, а најчешће вам иде на живце када до касно у ноћ, данима чекате резултате испита. Ипак, математика често може бити интересантна и неочекивана.

10. Теорема 4 боје

Ову теорему је 1852 октрио Францис Гутри који је у то време покушавао да обоји мапу свих земаља Енглеске. Том приликом, открио је нешто интересантно. Требало му је само четри различите боје да би обезбедио да две земље са заједничком границом нису обојене истом бојом. Гутри се питао да ли је ово правило за сваку мапу и питање је постало математичка загонетка која је годинама остала без решења.

Године 1976, овај проблем су коначно решили Кенет Апел и Волфганг Хакен. Доказ који су пронашли био је прилично комплексан и ослањао се на рачунар, али је закључак био да се на било којој политчикој мапи, све државе могу обојити тако да суседне никад нису исте боје.

9. Броуерова теорема фиксне тачке

Теорема долази из области топологије и открио је Луцен Броуер. Иако је прилично апстрактна, има пуно импликација у стварном свету.

На пример, ако имамо слику, (на пример Монализу) и направимо копију слике. Уколико ову копију повећавамо, смањујемо ротирамо и слично, Броуерова теорема фиксне тачке каже да ако ову копију ставимо преко оригинала, бар једна тачка мора бити тачно на истом месту као на оригиналу.

Ово такође функционише у три димензије. На пример имамо чашу воде и кренемо да је мешамо. По Броуеровој теореми, постојаће бар један молекул воде који ће на крају бити на истом месту као и на почетку.

8. Раселов парадокс

На почетку 20. века многи су се занимали новом граном математике, званом теорија сетова. У суштини, сет је колекција објеката. У то време се сматрало да све може да се представи као сет. Тако је сет могао да садржи и друге сетове.

Године 1901. славни математичар Бертранд Расел је направио приличну пометњу када је схватио да ово размишљање има велику ману. Наиме, не може све да се представи као сет.

Расел је одлучио да направи мета сет који је описан као сет који садржи све оне сетове који не садрже сами себе. На пример сет воћа, садржи све врсте воћа, али не садржи самог себе.

Тако је Раселов сет садржао све сетове који не садрже сами себе. Логично је да Раселов сет не садржи самог себе јер садржи све остале сетове, али у том случају он треба да буде додат у Раселов сет, што значи да сада Раселов сет садржи самог себе, што даље значи да треба да буде избачен из Раселовог сета и тако даље. Овај логички парадокс је изазвао комплетну реформу теорије сетова.

7. Ферматова последња теорема

Сећате се питагорине теореме? Збир квадрата над катетама једнак је квадрату над хипотенузом. Најчувенија теорема Пјера де Фермата је да управо ова једначина није тачна ако се квадрат замени било којим другим бројем. На пример није тачно рећи да је збир кубова над катетама једнак кубу над хипотенузом.

Како је Фермат написао: “Открио сам величанствен доказ овога, али је ова маргина превише уска да би га примила”. Овај проблем је постављен 1637. године и иако можда не звучи нарочито компликовано, прошло је прилично много времена до његовор решавања. Под прилично много времена мислимо 358 година јер је проблем решио тек Ендру Вилс 1995. године.

6. Аргумент судњег дана

Прилично је прихватљива претпоставка да су већина читалаца овог чланка људска бића. За њих ће овај део чланка бити нарочито отрежњујући. Математика се може користити како би се утврдило када ће наша врста нестати. Користећи вероватноћу наравно.

Овај аргумент у суштини каже да је време човечанству скоро истекло. Једна верзија аргумента која се приписује Ричарду Готу је изненађујуће једноставна: ако посматрамо цео животни циклус људске врсте као временску линију од рођења ка смрти, можемо утврдити где се налазимо сада.

Пошто је сада насумична тачка у постојању људксе врсте, можемо са сигурношћу од 95% рећи да смо негде на средини 95% временске линије. Ако кажемо да смо сада на 2.5% људског постојања добијамо највеће очекивано преживљавање. Ако кажемо да је прошло 97.5% времена људског постојања, то нам даје најкраће очекивање преживљавања. Према Готу, постоји шанса од 95% да ће људи изумрети негде у периоду од 5100 и 7.8 милиона година од данас.

Признаћете завидна прецизност.

5. Нееуклидска геометрија

Еуклидска геометрија је још једна од ствари које се сигурно сећате из школе. То је обична геометрија линија и тачака које се могу нацртати и дуго је сматрана јединим начином на који геометрија може да функционише. Она је заснована на 5 аксиома.

Ипак ове очигледне истине које је Еуклид записао пре 2000 година нису свима биле тако очигледне. Проблем је у постулату паралелности који је многим математичарима био проблематичан (да за сваку линију постоји тачно једна паралелна линија, односно да се никада не секу. Нееуклидске геометрије тврде да не постоје паралелне линије). На почетку 18. века, пети аксиом је просто промењен у нешто друго и добијена је потпуно другачија геометрија. Једна од њих је елиптична геометрија која је коришћена да би се објаснила теорија релативитета.

4. Ојлерова формула

Ојлерова формула је један од најмоћнијих резултата на списку.

Његов резултат делује једноставно на први поглед: е^(i*pi)+1 = 0. За неупућене и pi и e су математичке константе које искрсавају на најневероватнијим местима, а i је имагинарна јединица (резултат квадратног корена из -1). Ричард Фејнман је назвао најупечатљивијом формулом у математици.

3. Турингова универзална машина

Живимо у свету којим доминирају рачунари чији су корени у теоретској математици.

Математичар и разбијач шифара у 2. светском рату, Алан Туринг је развио теоретски објекат назван Турингова машина. То је основни рачунар који користи бесконачну траку и три симбола (0, 1, и празно) и извршава сетове инструкција. Инструкције су могле бити промена 0 у 1 или померање у лево или десно.

Туринг је у стуштини користећи математику и логику, створио поље рачунарских наука годинама пре него што је технологија била у стању да направи прави рачунар.

2. Различити нивои бесконачности

Бесконачност је већ као такву тешко појмити. Људи нису створени тако да разумеју бесконачност и због тога је бесконачност пажљиво третирана од стране математичара.

Тек у другој половини 19. века, Георг Кантор је развио грану математике, теорију Сетова, теорију која му је дозволила да пондерише истинску природу бесконачности. И оно што је отркио је било запањујуће.

Испоставило се да увек постоји већа бесконачност од претходне. На пример скуп природних бројева је бројива бесконачност и представња најнижи ниво бесконачности. Једноставним закључивањем Кантор је спознао да постоји већа бесконачност, бесконачност реалних бројева, небројива бесконачност. Али постоји још нивоа бесконачности након ове. Колико? Па бесконачно много наравно :)

1. Геделова теорија некомплетности

Године 1931, аустријски математичар Курт Гедел је доказао две теореме које су шокирале математички свет до саме основе јер заједно су показале нешто јако обесхрабрујуће: математика није, нити ће кад бити комплетна.

Без залажења у техничке детаље, Гедел је показао да у било ком формалном систему постоје истините тврдње о систему које сам систем не може доказати. У суштини показао је да је немогуће да аксиоматски систем буде само-садржан, што се косило са свим дотадашњим математичким претпоставкама. Никад неће постојати затворени систем који садржи сву математику, само системи који постају све већи и већи док безуспешно покушавамо да их учинимо комплетним.

Тренутно нема коментара. Будите први који ће поставити коментар!
8
0

Постави коментар

E-mail:
Коментар:
Антиспам:

7 + 12

Коментари пролазе модерацију, зато што смо тако у могућности